El método de la secante es un método iterativo para determinar las posibles raíces de una función. Se encuadra dentro de la familia de métodos abiertos para la obtención de raíces de ecuaciones no lineales.
Dada una función \(f\colon I\subseteq\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y dos puntos iniciales \(x_0,x_1\in I\), se define recursivamente la sucesión
\[ x_{k+1} \mathrel {\mathop \colon } \mathrel {\mkern -1.2mu}= x_k - f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})},\quad k=1,2,3,\dots \]
Bajo condiciones de regularidad, la convergencia es superlineal sin llegar a alcanzar orden cuadrático.
El resultado queda indefinido cuando \(x_k\not\in I\) o \(f(x_k)=f(x_{k-1})\) y es impredecible cuando \(|f(x_k)-f(x_{k-1})|\ll|x_k-x_{k-1}|\).
Dados dos puntos cualquiera \(x_{k-1},x_k\in I\), sea \(r\) la recta secante a \(f\) pasando por \((x_{k-1},f(x_{k-1}))\) y \((x_k,f(x_k))\), esto es, la recta de ecuación \[ r(x) = f(x_k) + \frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}(x-x_k),\quad x\in\mathbb{R}. \] La recta secante es cercana a \(f\) alrededor de los puntos de corte, por lo que, cuando \(x_{k-1},x_k\) estén cerca de \(x^*\), la raíz de \(r\) será incluso más cercana a la raíz de \(f\). Llamando \(x_{k+1}\) a la raíz de \(r\), tenemos que \[ 0 = r(x_{k+1}) = f(x_k) + \frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}(x_{k+1}-x_k). \] Despejando \(x_{k+1}\) de esta última relación, obtenemos la ecuación de iteración del método de la secante.
Teorema. Sea \(f\in\mathcal{C}^1(I)\) tal que \(f(x^*)=0\).