La iteración de punto fijo es un método iterativo para determinar los posibles puntos fijos de una función. Dada una función \(g\colon J\subseteq\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y un punto inicial \(x_0\in J\), se define recursivamente la sucesión
\[ x_{k+1} \mathrel {\mathop \colon } \mathrel {\mkern -1.2mu}= g(x_k),\quad k=0,1,2,\dots \]
Supongamos por un momento que \(g\) es continua y que, además, dicha sucesión converge, entonces lo hace a un punto fijo.
\[ x^* \mathrel {\mathop \colon } \mathrel {\mkern -1.2mu}= \lim_{k\to\infty}x_k = \lim_{k\to\infty}g(x_{k-1}) = g\Big(\lim_{k\to\infty}x_{k-1}\Big) = g(x^*) \]
La convergencia de \(\{x_k\}_{k=0}^\infty\) a un punto fijo específico no siempre está garantizada.
Se dice que \(g\) es una función lipschitziana si existe una constante \(K>0\), llamada constante de Lipschitz, tal que \(|g(x)-g(y)|\leq K|x-y|\) para todo \(x,y\in J\). La constante de Lipschitz no es única.
Una contracción es una función lipschitziana con constante de Lipschitz estrictamente menor a 1. En contrapartida, una dilatación no es, en general, una función lipschitziana. Cuando sí lo es, toda constante de Lipschitz asociada es necesariamente estrictamente mayor a 1.
Supongamos que \(g\in\mathcal{C}^1([a,b])\), se tiene que:
Teorema de Brouwer (1911). Si \(g([a,b])\subseteq[a,b]\) y \(g\) es continua, entonces existe al menos un punto fijo de \(g\) en \([a,b]\).
Teorema de Banach (1922). Si \(g([a,b])\subseteq[a,b]\) y \(g\) es contractiva, entonces existe un único punto fijo de \(g\) en \([a,b]\). Además, \(x^*\) es estable y se dan las siguientes desigualdades (equivalentes entre ellas) relativas a la velocidad de convergencia:
La iteración de punto fijo no sólo se restringe a funciones escalares de una variable real, sino también se puede aplicar con más generalidad a transformaciones de espacios métricos completos. En particular, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, se conoce bajo el nombre de método de Gauss-Seidel.