El método de Newton-Raphson es un método iterativo para determinar las posibles raíces de una función. Se encuadra dentro de la familia de métodos abiertos para la obtención de raíces de ecuaciones no lineales.
Dada una función \(f\colon I\subseteq\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y un punto inicial \(x_0\in I\), se define recursivamente la sucesión
\[ x_{k+1} \mathrel {\mathop \colon } \mathrel {\mkern -1.2mu}= x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)},\quad k=0,1,2,\dots \]
Bajo condiciones de regularidad, la convergencia es de orden cuadrático.
El resultado queda indefinido cuando \(x_k\not\in I\) o \(f'(x_k)=0\) y es impredecible cuando \(f'(x_k)\approx 0\).
Dado un punto cualquiera \(x_k\in I\), sea \(r\) la recta tangente a \(f\) en \((x_k,f(x_k))\), esto es, la recta de ecuación \[ r(x) = f(x_k) + f'(x_k)(x-x_k),\quad x\in\mathbb{R}. \] La recta tangente es cercana a \(f\) alrededor del punto de tangencia, por lo que, cuando \(x_k\) esté cerca de \(x^*\), la raíz de \(r\) será incluso más cercana a la raíz de \(f\). Llamando \(x_{k+1}\) a la raíz de \(r\), tenemos que \[ 0 = r(x_{k+1}) = f(x_k) + f'(x_k)(x_{k+1}-x_k). \] Despejando \(x_{k+1}\) de esta última relación, obtenemos la ecuación de iteración del método de Newton-Raphson.
Teorema. Sea \(f\in\mathcal{C}^1(I)\) tal que \(f(x^*)=0\).
La hipótesis \(f\in\mathcal{C}^2(I)\) puede relajarse a \(\exists f''(x)\), \(\forall x\in I\), & \(f''\in\mathcal{C}^0(x^*)\).